안정성이란 변화에 대한 자동적인 복원을 의미한다.
항공기가 정상상태에서 벗어났을 때, 안정성 있는 항공기는 자동적으로 원래의 정상상태로 돌아온다.
이를 좀더 구체적으로 항공기의 3축운동인 키놀이, 옆놀이, 빗놀이에 대해
각각 세로안정, 가로안정, 방향안정으로 구분한다.
항공역학에서는 이 세가지의 안정성에대해 수식화하여 보다 구체적으로 표현한다.
이글은 세가지의 안정방정식에 대한 첫번째 글로, 세로안정방정식에 대한 내용이다.
세로안정성이란 항공기의 키놀이와 관련된 안정성으로, 우리가 알아볼 것은 그중에서도
초기 변화에 대한 경향성, 즉 정적 세로안정에 대한 내용이다.
우선 본론에 들어가기에 앞서 간단한 내용 및 정의를 알고 있어야 한다.
첫째로 항공기 3축운동의 부호이다.
다음 그림은 3축운동에 대한 부호를 나타낸 그림으로 우리가 필요한 내용은
키놀이의 경우 기수가 올라가는 방향이 정방향(+)이고,
기수가 내려가는 방향이 (-)라는 것을 알 수 있다.
그 외에 옆놀이와 빗놀이는 오른쪽이 (+)방향이다
그다음으로 공기력과 공기력에 의한 모멘트 공식이다.
공기력 공식은 다음의 글에서 정리해 놓았다.
https://airtech422.tistory.com/84
[항공역학] 비행하는 날개단면에 작용하는 힘 - 공기력 공식 유도하기
위의 두 공식은 비행기의 날개에 작용하는 양력과 항력을 나타내는 공식으로 항공관련 공부를 한다면 반드시 알아야 할 공식이다. 이 글에서는 위의 두 공식이 어떻게 유도되었는지 알아보자
airtech422.tistory.com
이를 응용하여 공기력에 의한 키놀이모멘트 공식은 다음과 같이 간단하게 유도할 수 있다.
모멘트는 힘 x 거리의 차원이고, 여기서 힘은 공기력이므로, 거리만 곱해주면 된다.
정확한 값을 위해서는 정확한 거리를 측정해서 곱해주어야 하겠지만, 항공기의 종류와
무게 분포에 따라 거리는 변화한다. 따라서 일반적인 표준 공식을 만들기 위해서
키놀이 모멘트의 경우에 모멘트 거리로 시위길이를 곱해주고,
옆놀이와 빗놀이의 경우에는 모멘트 거리로 날개스팬 b를 곱해준다.
또한 다음 글에서도 설명할 테지만, 키놀이 모멘트 계수 CM의 경우 양력 및
항력계수와 같이 받음각, 레이놀즈수, 마하수의 함수이지만,
받음각과 관련이 없는 측분력(Y), 옆놀이모멘트계수(CL'), 빗놀이모멘트계수(CN)은
받음각 대신 옆미끄럼각(β)를 적용하여 옆미끄럼각,레이놀즈수,마하수의 함수이다.
정리하자면 키놀이는 기수가 올라가는 방향이 +방향이며
항공기에 작용하는 공기력에 의한 모멘트는 공기력공식의 계수를
각각의 모멘트에 대한 계수로 바꾸고, 모멘트 길이인 시위길이 또는 스팬길이를 곱한 것이며,
여기서 각각의 모멘트계수는 받음각 또는 옆미끄럼각, 레이놀즈 수, 마하수의 함수이다.
본론으로 들어가서, 정적세로안정조건에 관한 이야기를 해보자
안정이란 변화에 대한 자동적인 복구라고 하였다
세로안정, 즉 키놀이에 있어서 변화와 복구는 무엇인지 생각해보자
키놀이에 있어서 변화란 기수의 올라감 또는 내려감을 의미하고, 이는 곳 받음각의 변화와 같다
기수가 올라가면 받음각도 증가하며, 기수가 내려기면 받음각도 감소한다.
또한 이 둘은 선형적인 관계에 있으므로 키놀이에 있어서 변화란 받음각의 변화라 할 수 있다.
다음으로 복구는 키놀이 모멘트계수의 변화로 해석할 수 있다. 변화가 있을 때,
즉 받음각이 변할 때 기수를 원래 위치로 돌리도록 키놀이 모멘트계수가 변한다면
해당 항공기는 세로안정이 있다고 할 수 있다.
따라서 항공기의 정적세로안정조건을 수식화하면 다음과 같다
즉 받음각의 변화에 따른 무게중심의 키놀이모멘트계수변화율이 음수일때,
해당 항공기는 정적세로안정이 있다고 할 수 있다.
"왜 음수여야 하는가?" 라는 질문에는 "기수가 올라가는 것이 양의 방향(+)이기 때문"
이라고 답할 수 있다.
위의 식을 보다 구체적으로 풀어쓰면 항공기의 정적세로안정방정식을 구할 수 있다.
먼저 다음의 그림과 같은 상황을 가정하여 무게중심에 대한 키놀이모멘트계수를 구해보자.
보다 간단하게 생각하기 위해 몇가지 가정이 필요하다
첫째로 항공기는 시위선과 나란한 방향으로 수평비행중이며
이때 주익이 마주하는 상대풍은 시위선과 받음각 α를 이루며 아래에서
들어온다고 생각한다.
둘째로 공력중심과 무게중심이 시위선 상, 즉 진행방향상으로 나란하다고
가정함으로써 진행방향의 반대방향으로 작용하는 힘인 항력에 의해
발생하는 무게중심에 대한 모멘트를 무시한다.
마지막으로 양력의 작용방향에 대한 가정으로
원칙적으로 양력의 방향은 상태풍의 수직방향이지만,
보다 간편한 분석을 위해 진행방향의 수직윗방향으로 가정한다.
<다음은 용어들의 정의이다>
AC : Aerodynamic Center, 주익의 공력중심
CG : Center of Gravity, 항공기의 무게중심
tAC : 수평미익의 공력중심
Mac : 공력중심에 대한 키놀이모멘트
V : 주익이 마주하는 상대풍 속도벡터
α : 주익의 받음각
Vt : 수평미익이 마주하는 상대풍 속도벡터
αt : 수평미익의 받음각
ω : 주익에 의한 유동의 하향속도벡터
ε : 수평미익의 유도받음각
it : 수평미익의 취부각(붙임각)
c : 주익의 시위길이
lac : 기준선에서 AC까지의 거리
lcg : 기준선에서 CG까지의 거리
lt : CG에서 tAC까지의 거리
ltac : 기준선에서 tAC까지의 거리
주익과 수평미익의 받음각에 대해서 다음과 같은 식을 세울 수 있다.
여기서 ε에 대해서 위의 가운데 부분과 같이 표현할 수 있는 이유는,
받음각과 ε이 선형적인 관계이고, 받음각이 0일때 ε도 0이기 때문이다.
아래에서는 양력계수 Cl에 대해서도 이와 유사하게 표현했는데,
이또한 받음각과 양력계수가 선형적인 관계이고 받음각이 0일때
양력계수 값도 0이라고 가정했기 때문이다.
물론 비대칭형 에어포일은 받음각이 0이여도 양력을 발생시키고(Cl>0)
받음각이 ε및 양력계수와 정확한 선형관계는 아니지만,
편리한 분석을 위해 가정을 한 것이다.
아래의 그림을 보면 실속받음각 전에서는 전체적으로 받음각과
양력계수값이 선형적이라는 것을 알 수 있다.
다음으로 무게중심에 대한 모멘트는 다음과 같이 정리할 수 있다
또한 위 식의 항들은 다음과 같이 정리할 수 있다
이를 기존의 식에 대입하고 qSc로 양변을 나누어주면,
무게중심에대한 모멘트계수에 대한 결과를 얻을 수 있다.
그리고 정적세로안정조건에 맞추어 양변을 받음각 α로 미분해주면,
다음의 정적세로안정방정식을 구할 수 있다
단 주의할점은 공력중심은 그 정의에 따라 받음각이 변하여도 해당 점에
대한 피칭모멘트의 값이 변하지 않는 점으로, 받음각과 관계되지 않는다.
또한 수평꼬리날개의 취부각 it또한 받음각과 관계없이 고정된 값이므로
CMac항과 it항은 상수취급하여 미분 시 사라진다.
여기서 qt/q를 수평꼬리날개 효율계수 ηH라하고
Stlt/Sc를 수평꼬리날개 부피계수 VH라고 한다
더 나아가서, 트림점과 중립점에 대해서 알아보자.
트림점(Trim Point)는 비행기가 일정한 받음각으로 정상비행을 하기위한,
즉 현재의 비행자세를 계속 유지하기 위한 무게중심의 위치로,
무게중심에 대한 키놀이 모멘트의 값이 0이 되는 무게중심위치이다.
트림점에 무게중심이 위치하면, 비행기는 트림된 상태로 비행상태를 유지한다.
이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
중립점(Neutral Point)은 받음각이 변화하여도 그에 따라 무게중심에 대한
키놀이 모멘트가 변화하지 않는 점을 말한다.
즉 비행기의 중립점에 무게중심이 위치하면, 비행기에 교란이 발생하여
기수가 들리거나 내려갔을 때, 그에대해 복구하려하거나 교란을
증가시키려고 하지 않고, 아무런 반응이 없는 상태가 된다.
즉, 정적중립 상태가 된다.
이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
여기서 hn은 기준선에서 중립점까지의 거리를 의미한다.
또 hn - hc를 정적여유(Static Margin)라고 한다.
마지막 식은 정적세로안정방정식에 해당 조건을 넣은것으로,
정적여유 hn - hc의 값이 양수일때, 또 해당값이 클수록
정적세로안정을 같다는 것을 알 수 있다.